La transformación de Fourier (FT) convierte funciones del espacio temporal o espacial al espacio de frecuencias temporales o espaciales. Esta transformación simplifica el cálculo de los métodos espectrales.
En Física se utiliza la frecuencia expresada en rad/s en vez de en ciclos/s, ?=2p?
? Propiedades
si h(t) es real ? H(-?) = H*(?)
imaginario ? H(-?) = -H*(?)
par ? H(-?) = H(?)
impar ? H(-?) = -H(?)
real y par ? H(?) es real y par
real e impar ? H(?) es imaginario e impar
imaginario y par ? H(?) es real y par
imaginario e impar ? H(?) es real e impar
Transformadas de Fourier
transformada
antitransformada
? Propiedades:
escalaje
corrimiento
teorema de convolución:
teorema de correlación:
teorema de Wiener-Khinchin:
teorema de Parseval:
Transformadas de Fourier
Sea una señal s(t) medida a intervalos equidistantes de frecuencia 1/?:
sn=s(n?) donde n=…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…
Se define la frecuencia crítica de Nyquist como donde S(?)=0 para |?|=?c
? Teorema de muestreo: si una función continua s(t), evaluada a intervalos equidistantes ?, está acotada en su ancho de banda (S(?)=0 para |?|=?c), entonces la función está completamente determinada por su muestra sn.
Si la función no se evalua con una frecuencia mayor que la frecuencia de Nyquist, entonces ocurre el engorroso problema de la creación de sobrenombres (aliasing)
Transformadas de Fourier discretas (DFT)
Transformadas de Fourier discretas (DFT)
Recomendación: examínese la FT cerca de los valores correspondientes a la frecuencia crítica de Nyquist. Si la FT no se aproxima a 0, probablemente existan contribuciones de frecuencias que se han doblado dentro del ancho de banda.
(Press et al. “Numerical Recipes”)
Transformadas de Fourier discretas (DFT)
Ejemplo de creación de sobrenombres: sinusoide de frecuencia mayor que 1/2T, con muestras tomadas a intervalos T.
donde y p es entero y q es fracción.
0
• si p es par y la señal queda
• si p es impar entonces
Para ?0=1025 Hz y T=0.005 s : F=1/2T = 100 Hz, p=10, q=0.25 ?´0=25 Hz
10F
8F
6F
4F
2F
0
11F
9F
7F
5F
3F
F=1/2T
0.25F
Transformadas de Fourier discretas (DFT)
Método de Danielson-Lanczos para el cálculo de transformadas rápidas de Fourier (FFT)
Se basa en que una DFT de tamaño N puede reescribirse como dos DFT de tamaño N/2, la primera formada por los datos pares, y la segunda por los impares.
Así se puede ir descomponiendo a DFT de menor complejidad, con N/4, N/8, N/16, … Hasta llegar a 1 para algún k.
El algoritmo para encontrar qué k es:
reviértase el diseño de e y o
hágase e=0, o=1
k = número resultante en base binaria
Existen otros algoritmos para calcular FFT
Convolución y deconvolución
• Teorema de convolución
• Teorema de convolución discreta:
Si sj es una señal periódica, de periodo N, completamente determinada s0, …, sN-1 y r es una función de respuesta de impulso infinito (no 0 sólo en -M/2 = k =M/2, intervalo menor que N), entonces:
Convolución y deconvolución
• Cálculos con funciones no periódicas: se introducen artificialmente 0s al final de la función de señal s, tantos como número de índices positivos o negativos en r. Esto impide la contaminación de frecuencias con tiempos que toma como periódicos.
• Teorema de correlación
• Teorema de correlación discreta:
Si sj es una señal periódica, de periodo N, completamente determinada s0, …, sN-1 y r es una función de respuesta de impulso infinito (no 0 sólo en -M/2 = k =M/2, intervalo menor que N), entonces:
Correlación y autocorrelación
Espectro de potencias: periodograma
Sea una señal s(t) evaluada en intervalos equidistantes, su transformada de Fourier discreta viene dada por
y su periodograma en N/2+1 frecuencias viene definido por
donde ?j se define sólo para frecuencias positivas o cero:
Por el teorema de Parseval, vemos que la suma de los N/2+1 valores del periodograma dan la amplitud media cuadrada de sk.
Espectro de potencias: periodograma
P(?j) es un promedio de P(?) sobre una ventana estrecha (W) centrada en ?j. Si definimos s como la diferencia de frecuencias en casillas
lo que implica un derrame (leakage) de una frecuencia a otra
Espectro de potencias: periodograma
El periodograma no se vuelve más preciso si N aumenta: la desviación estándar es siempre 100% del valor del periodograma, independiente de N.
• Métodos para aumentar la precisión:
1. producir un periodograma con N grande y sumar los valores de frecuencias adyacentes. No promediar.
2. dividir los datos en k segmentos de 2M puntos consecutivos. Calcular FFT de cada segmento, y promediarlo para obtener k puntos del periodograma. La desviación estándar será así vk.
• Ventanas para disminuir el derrame:
Espectro de potencias: periodograma
Espectro de potencias: periodograma
Espectro de potencias: periodograma
? Periodograma normalizado de Lomb-Scargle para series evaluadas de forma no equidistante hj=h(tj) , j=1,…,N . Se define la media y la variancia de forma estándar
En función de la frecuencia angular ?=2p?>0 :
donde t viene definido por
Habitualmente hj contiene señal y ruido. Para calcular la significancia de un pico, se toman M frecuencias independientes. La probabilidad de que ninguna dé una valor más alto que z es , de forma que un valor pequeño tiene una alta significancia. M depende del número de frecuencias definidas por la muestra:
M˜N si están aproximadamente espaciadas
M˜N si son aleatorias
M?N si los puntos están acumulados en alguna zona de t. Si es así se debe realizar un Monte Carlo para calcular M (ejem. Horne & Baliunas 1986, ApJ, 302, 757).
Espectro de potencias: periodograma
? Periodograma normalizado de Lomb-Scargle
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